Fries-Symmetrien (Streifenornamente)

Ein Fries ist ein (als unendlich lang zu denkendes) periodisches Ornament, das zwischen zwei parallelen Geraden eingeschlossen ist. Damit es periodisch ist, muss zu seinen Symmetrie-Abbildungen, die es mit sich selbst zur Deckung bringen, eine kürzeste Translation t (Parallelverschiebung) in Richtung dieser Geraden gehören. Wiederholte Ausführung von t ergibt unendlich viele weitere Translationen, t² = t°t, t³ = t°t°t,..., die das Ornament ebenfalls auf sich selbst abbilden. Die Umkehrungen aller dieser Translationen sind Translationen in entgegengesetzter Richtung
Außer diesen unendlich vielen Translationen, die immer zur Familie der Symmetrien eines Frieses gehören, kann es weitere Symmetrieabbildungen geben:
- sw Spiegelungen an der waagerechten Mittellinie w des Streifens,
- ss Spiegelungen an einer zu den begrenzenden Geraden Senkrechten s,
- d  Drehungen um 180 Grad um einen Punkt P der Mittelparallelen sowie

- g  Gleitspiegelungen, d.h. Translationen in Längsrichtung mit anschließender Spiegelung an der waagerechten Mittellinie.

Im folgenden Bild sind die möglichen Stellungen einer "Fahne" F im Fries nach Ausführung je einer dieser Abbildungen markiert, womit zugleich klar wird, dass unsere Aufzählung von Möglichkeiten vollständig ist.