4.Dimension

Die Anordnung ist gleichzeitig der Schlüssel für einen Ausflug in die vierte Dimension. "Ich frage zum Beispiel die Kinder, mit welchen regelmäßigen N-Ecken man eine Ebene vollständig auslegen kann, so dass keine Lücken frei bleiben", sagt Polthier. Fast alle wissen natürlich, dass es mit Quadraten geht, diese Form kennt man ja von gefliesten Fußböden.
Die vollständige Parkettierung funktioniert jedoch auch mit gleichseitigen Dreiecken und gleichseitigen Sechsecken. Wie aber sieht es mit einem gleichseitigen Fünfeck aus? Polthier legt Fünfecke aus Papier aneinander, aber das Parkettieren will einfach nicht gelingen. Wenn drei Fünfecke mit ihren Ecken an einem Punkt zusammenstoßen, dann bleibt immer eine kleine Lücke frei.
Das kann man auch leicht geometrisch beweisen. Der Innenwinkel bei regelmäßigen Fünfecken ist 108 Grad groß. Stoßen drei solche Winkel aneinander, kommt man zusammen auf 324 Grad. Es fehlen also noch 36 Grad, um auf 360 Grad zu kommen und die Ebene damit lückenlos zu bedecken.
Den Raum zupflastern
An dieser Stelle beginnt das Abenteuer 4D. "Wir könnten die Ebene ja auch krümmen", sagt Polthier, "so dass sich die Lücke schließt". Dann entsteht aus dem ursprünglich flachen unvollständigen Parkett plötzlich ein dreidimensionales Gebilde - siehe Fotostrecke. Und wenn insgesamt zwölf Fünfecke lückenlos aneinander gelegt sind, geschieht etwas Magisches. Ein platonischer Körper, das Dodekaeder, ist entstanden.
Die Spielerei in der Ebene hat den dreidimensionalen Raum erreicht - und dort ist immer noch nicht Schluss. "Man kann nicht nur eine Ebene parkettieren, sondern auch den Raum", sagt Polthier. Die einfachste Variante ist dabei, analog zum Quadrat in zwei Dimensionen, der Würfel. Würfel können den Raum ebenfalls vollständig ausfüllen.
Mit welchen anderen platonischen Körpern klappt dies noch? In der Symmetrieausstellung können Besucher Figuren wie Tetraeder (eine Pyramide aus vier gleichseitigen Dreiecken) oder Ikosaeder, ein Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken, selbst bauen und aneinanderlegen. Mit Tetraedern oder Ikosaedern lässt sich der Raum nicht lückenlos füllen.
Was aber ist mit dem Dodekaeder, dem Körper aus 12 Fünfecken? Wie die Fünfecke in der Ebene macht der Dodekaeder auch im Raum keine gute Figur. Fügt man drei aus Papier gebastelte Dodekaeder an einer gemeinsamen Kante zusammen, bleibt wieder eine Lücke. Diesmal ist es knapper als bei den Fünfecken in der Ebene, aber es sind immer noch etwa 10 Grad, die zum vollständigen ausfüllen des Raumes fehlen.
Der Geometrie-Professor weiß aber auch hier Rat. "Wir können den dreidimensionalen Raum zusammenbiegen, damit sich die Lücke schließt", erklärt Polthier. Und für diese Krümmung müsse man noch eine Dimension höher in den vierdimensionalen Raum.


Das dabei entstehende geschlossene Gebilde besteht aus 120 Dodekaedern und wird als Hyperdodekaeder oder auch 120-Zell bezeichnet. An jeder der 600 Ecken stoßen vier Dodekaeder zusammen. Insgesamt 720 Fünfecke enthält die Figur.
Wie aber sieht ein 120-Zell aus? Wir können es uns eigentlich nicht vorstellen - aber zumindest eine Ahnung davon ist möglich. "Es ist genau wie bei den Fünfecken in der Ebene", erklärt Polthier. Wenn man die Lücken zwischen ihnen schließe, entstehe eine geschlossene Sphäre in der nächsthöheren Dimension, Zwölfflächner oder Dodekaeder genannt. Analog bildeten die 120 Dodekaeder eine Sphäre im vierdimensionalen Raum, also ein geschlossenes Gebilde mit einem Hohlraum in der Mitte.

Mathematiker können das kaum fassbare Fünfeckungetüm aber mit einem Trick doch sichtbar machen: Sie zeigen seinen Schatten als Animation in drei Dimensionen, wie in dem YouTube-Video zu sehen ist. Das funktioniert ganz ähnlich wie der Schatten dreidimensionaler Objekte in der Ebene, die ja nur zwei Dimensionen hat.

Fries-Symmetrien (geflochten)

Geflochtene Friesornamente

Gelegentlich, typisch vor allem in der islamischen Ornamentik, treten "Flechtmuster" auf.

Will man bei derartigen Friesornamenten das Über- und Untereinander nicht ignorieren, so muss man sich als "Ort der Handlung" statt des ebenen Parallelestreifens einen unendlich langen dreidimensionalen Strang von rechteckigem Querschnitt vorstellen, dessen "Schauseite" viel breiter ist als die dazu senkrechte "Tiefe" des nun reliefartigen Ornaments, das aber meist nicht räumlich ausgeführt sondern nur in der Ebene abgebildet wird. Wie das folgende Bild zeigt, gibt es nun statt 5 möglichen Positionen der Fahne F nach Ausführung einer Deckabbildung 11 solche Positionen.

Mögliche Symmetrien bei geflochtenen Friesornamenten

Diese sind gerade die Translation entlang der x-Achse, Drehungen um die x-, y- und z-Achse, Spiegelungen an den zu den Raumachsen senkrechten Ebenen, Punktspiegelung am Schnittpunkt der Raumachsen, Gleitspiegelungen und die Schraubung um die x-Achse. (Translation, Gleitspiegelungen und Schraubung sind nur in Richtung des Frieses möglich, da sie sonst aus dem Bereich des Frieses herausführen würden.)

Die Suche nach Untergruppen und einige theoretische Überlegungen ergeben in diesem Fall, dass es 31 verschiedene Klassen von geflochtenen Friesornamenten gibt. Um die Fantasie und Neugier der Besucher anzuregen, sind im folgenden drei ausgewählte Beispiele mit den zugehörigen Symmetrie-Abbildungen angegeben. Analog kann der interessierte Besucher selbst versuchen einige der 31 geflochtenen Friesornamente aufzuspüren.

   1. Rotation an allen drei Raumachsen und Schraubung

   2. Rotation um die y- und z-Achse und Schraubung

   3. Spiegelung an den zur x- und z-Achse senkrechten Ebenen, Rotation um die y- und z-Achse, Punktspiegelung, beide Gleitspiegelungen und Schraubung

Fries-Symmetrien (Streifenornamente)

Ein Fries ist ein (als unendlich lang zu denkendes) periodisches Ornament, das zwischen zwei parallelen Geraden eingeschlossen ist. Damit es periodisch ist, muss zu seinen Symmetrie-Abbildungen, die es mit sich selbst zur Deckung bringen, eine kürzeste Translation t (Parallelverschiebung) in Richtung dieser Geraden gehören. Wiederholte Ausführung von t ergibt unendlich viele weitere Translationen, t² = t°t, t³ = t°t°t,..., die das Ornament ebenfalls auf sich selbst abbilden. Die Umkehrungen aller dieser Translationen sind Translationen in entgegengesetzter Richtung
Außer diesen unendlich vielen Translationen, die immer zur Familie der Symmetrien eines Frieses gehören, kann es weitere Symmetrieabbildungen geben:
- sw Spiegelungen an der waagerechten Mittellinie w des Streifens,
- ss Spiegelungen an einer zu den begrenzenden Geraden Senkrechten s,
- d  Drehungen um 180 Grad um einen Punkt P der Mittelparallelen sowie

- g  Gleitspiegelungen, d.h. Translationen in Längsrichtung mit anschließender Spiegelung an der waagerechten Mittellinie.

Im folgenden Bild sind die möglichen Stellungen einer "Fahne" F im Fries nach Ausführung je einer dieser Abbildungen markiert, womit zugleich klar wird, dass unsere Aufzählung von Möglichkeiten vollständig ist.